<< xlr8r.m

Auxin/Pin1 Pathway calculation
BES 13 Aug 2005
Based on email notes EMJ 13 Aug 2005
Appendix I added by EMj 20 Aug 2005
EMj on the date: all dates above should actually be 20 Aug - 13 Aug was *last* Saturday.

step[m_, 
        n_] := {(Subscript[B, j, m - 1]) ⇄  (Subscript[B, j, m]),  
        (Subscript[A, j])[t] (n - m + 1) (Subscript[k, f]),  m*(Subscript[k, r])}

net = Table[step[m, 4],  {m, 1, 4}]

interpret[net][[1]]

Solve[{0 == -4 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 0])[t] + 
            (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 1])[t], 
        0 == 
          4 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 0])[t] - (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 1])[t] - 
            3 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 1])[t] + 2 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 2])[t], 
        0 == 
          3 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 1])[t] - 2 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 2])[t] - 
            2 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 2])[t] + 3 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 3])[t], 
        0 == 
          2 (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 2])[t] - 3 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 3])[t] - 
            (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 3])[t] + 4 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 4])[t], 
        0 == 
          (Subscript[k, f]) (Subscript[A, j])[t] (Subscript[B, j, 3])[t] - 
            4 (Subscript[k, r]) (Subscript[B, j, 4])[t], 
BT == 
          (Subscript[B, j, 0])[t] + (Subscript[B, j, 1])[t] + (Subscript[B, j, 2])[t] + (Subscript[B, j, 3])[t] + 
            (Subscript[B, j, 4])[t]}, 
{(Subscript[B, j, 0])[t], 
        (Subscript[B, j, 1])[t], (Subscript[B, j, 2])[t], (Subscript[B, j, 3])[t], 
        (Subscript[B, j, 4])[t]}]

steady state solution :\(B\_\(j, 4\)[
          t] -> \(BT\ k\_f\%4\ A\_j[t]\^4\)\/\((k\_r + k\_f\ A\_j[t])\)\^4\)≈((BT (Subscript[k, f]^4) (Subscript[A, j])[t]^4)/((((Subscript[k, r])))^4)) in the approx. (Subscript[k, f]) A/(Subscript[k, r]) ≪ 1

Alternate mechanism: (Subscript[B, 0]) + 4  A ⇌ (Subscript[B, 1]) gives hill function for steady state

sy = 
      interpret[{{(Subscript[B, 0]) + 4  A ->  (Subscript[B, 1]), 
            kf},  {(Subscript[B, 1]) ->  4  A + (Subscript[B, 0]), kr}}]

steadyState[sy]

Solve[{(Subscript[B, 1])[t] == ((kf A[t]^4 (BT - (Subscript[B, 1])[t]))/kr)},   (Subscript[B, 1])[
        t]]

net2 = {{(Overscript[((Subscript[B, j, n])⟹(Subscript[L, j, i])), (Subscript[Y, j])]), 
          MM[K, v]},  {(Subscript[L, j, i]) ->  (Subscript[B, j, n]), k}}

interpret[net2]

Solve[{0 == -((v (Subscript[Y, j])[t] (Subscript[B, j, n])[t])/(K + 
                      (Subscript[B, j, n])[t])) + 
              k (Subscript[L, j, i])[t]},  {(Subscript[L, j, i])[t]}] /. {(Subscript[B, j, n])[
            t] ->  BT (Subscript[A, j])[t]^n ((((Subscript[k, f])/(Subscript[k, r])))^n)}

(Subscript[K, hill]) = ((K/BT)^(1/n)) ((Subscript[k, r])/(Subscript[k, f]))

(Subscript[L, j, i])[
        t] -> ((v  (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/(k (K/(BT (((((Subscript[k, f])/(Subscript[k, r]))))^n)) +  (Subscript[A, j])[t]^n))) ->  (((v  /k) (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/( ((((Subscript[K, hill])))^n) +  (Subscript[A, j])[t]^n))

net3 = {{(Overscript[((Subscript[M, i, j])⟹(Subscript[MS, i, j])), (Subscript[C, i, j])]), MM[K1, v1]},  {(Subscript[MS, i, j]) ->  (Subscript[M, i, j]),  
          k2},  {(Subscript[L, j, i]) + (Subscript[R, i, j]) ⇄  
            (Subscript[C, i, j]),  k3,  k4}}

interpret[net3][[1]]

Solve equation ((Subscript[M, i, j]))'[t]==-((v1 (Subscript[C, i, j])[t] (Subscript[M, i, j])[t])/(K1 + 
                    (Subscript[M, i, j])[t])) + k2 (Subscript[MS, i, j])[t]-> 0 with (Subscript[M, i, j]) + (Subscript[MS, i, j])=MT

Solve[{

0 == ((v1 (Subscript[C, i, j])[t] ((Subscript[M, total]) - (Subscript[MS, i, j])[t]))/(K1 + ((Subscript[M, total]) - (Subscript[MS, i, j])[t]))) - k2 (Subscript[MS, i, j])[t]},  {(Subscript[MS, i, j])[t]}]

If K1 << (Subscript[M, total ])then instead of this we have:

Solve[{

0 == ((v1 (Subscript[C, i, j])[t] ((Subscript[M, total]) - (Subscript[MS, i, j])[t]))/(((Subscript[M, total]) - (Subscript[MS, i, j])[t]))) - 
            k2 (Subscript[MS, i, j])[t]},  {(Subscript[MS, i, j])[t]}]

Solve[{0 == -k4 (Subscript[C, i, j])[t] + 
            k3 (Subscript[L, j, i])[t] (Subscript[R, i, j])[t]},  {(Subscript[C, i, j])[
          t]}]

Let (Subscript[RT, i, j]) = (Subscript[R, i, j]) + (Subscript[C, i, j]) =  
          total inactive Recepter  +  activated receptor

Solve[{0 == -k4 (Subscript[C, i, j])[t] + 
            k3 (Subscript[L, j, i])[
                t] ((Subscript[RT, i, j]) - (Subscript[C, i, j])[t])},  {(Subscript[C, i, j])[
          t]}]

apply formula for L from above:

Solve[{0 == -k4 (Subscript[C, i, j])[t] + 
              k3 (Subscript[L, j, i])[
                  t] ((Subscript[RT, i, j]) - (Subscript[C, i, j])[t])},  {(Subscript[C, i, j])[
            t]}] /. {(Subscript[L, j, i])[
            t] ->  (((v  /k) (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/( ((((Subscript[K, hill])))^n) +  (Subscript[A, j])[t]^n))}

Simplify[%]

Now solve for MStar

(Subscript[MS, i, j])[
          t] -> ((v1 (Subscript[C, i, j])[t])/k2) /. {(Subscript[C, i, j])[
            t] -> ((k3 v (Subscript[RT, i, j]) (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/(k k4 (Subscript[K, hill]^n) + (Subscript[A, j])[t]^n (k k4 + k3 v (Subscript[Y, j])[t])))}

which does in fact gtive a hill function of order n for M*

(Subscript[K, hill, effective]) = (((k*k4*(Subscript[K, hill]^n)/(k k4 + k3 v (Subscript[Y, j])[t])))^(1/n))

(Subscript[v, effective]) = 
      k3*v*v1*(Subscript[RT, i, j]) 
        (Subscript[Y, j])[t]/(k2*(k k4  +  k3 v (Subscript[Y, j])[t]))

(Subscript[MS, i, j])[
        t] -> (((Subscript[v, eff]) (Subscript[A, j])[t]^n)/( (Subscript[K, hill, eff]^n)+(Subscript[A, j])[t]^n ))

net4 = {{(Overscript[((Subscript[P, i])⟹(Subscript[P, i, j])), (Subscript[MS, i, j])]), 
          MM[K4, v4]},  {(Subscript[P, i, j]) ->  (Subscript[P, i]),  k5}}

interpret[net4][[1]]

interpret[
          net4][[1]] /. {(Subscript[MS, i, j])[
            t] -> ((k3 v v1 (Subscript[RT, i, j]) (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/(k2 (k k4 (Subscript[K, hill]^n) + (Subscript[A, j])[t]^n (k k4 + k3 v (Subscript[Y, j])[t]))))}

If K1 >> (Subscript[M, total ])then instead of this we have:

Solve[{

0 == ((v1 (Subscript[C, i, j])[t] ((Subscript[M, total]) - (Subscript[MS, i, j])[t]))/K1) - 
            k2 (Subscript[MS, i, j])[t]},  {(Subscript[MS, i, j])[t]}]

(Subscript[MS, i, j])[
          t] -> ((v1 (Subscript[M, total]) (Subscript[C, i, j])[t])/(K1 k2 + v1 (Subscript[C, i, j])[t])) /. {(Subscript[C, i, j])[
            t] -> ((k3 v (Subscript[RT, i, j]) (Subscript[A, j])[t]^n (Subscript[Y, j])[t])/(k k4 (Subscript[K, hill]^n) + (Subscript[A, j])[t]^n (k k4 + k3 v (Subscript[Y, j])[t])))}

Simplify[%]

which does in fact gtive a hill function of order n for M* - with different expressions for K and Vmax from before.

(Subscript[K, hill, effective]) = (k K1 k2 k4 (((((((((K/BT)))^((1/n))) (Subscript[k, r]))/(Subscript[k, f]))))^n))/(k K1 k2 k4 + 
            k3 v (K1 k2 + v1 (Subscript[RT, i, j])) (Subscript[Y, j])[t])

(Subscript[v, effective]) = 
      k3 v v1 (Subscript[M, total]) (Subscript[RT, i, j]) (Subscript[Y, j])[
            t]/((k K1 k2 k4 + 
                k3 v (K1 k2 + v1 (Subscript[RT, i, j])) (Subscript[Y, j])[
                    t]))

(Subscript[MS, i, j])[
        t] -> (((Subscript[v, eff]) (Subscript[A, j])[t]^n)/( (Subscript[K, hill, eff]^n)+(Subscript[A, j])[t]^n ))